Почему линейная алгебра называется линейной

Алгебра – это раздел математики, ориентированный на обобщение арифметических операций через знаки, буквы и цифры . В алгебре буквы и знаки представляют другую сущность через символику.

Линейный, с другой стороны, это прилагательное, которое относится к тому, что связано с линией (линия или последовательность). В области математики идея линейного относится к тому, что имеет последствия, которые пропорциональны причине.

Он известен как линейная алгебра для специализации алгебры, которая работает с матрицами, векторами, векторными пространствами и уравнениями линейного типа . Это область знаний, которая развивалась особенно в 1840-х годах благодаря вкладу немцев Германа Грассмана (1809-1877) и ирландца Уильяма Роуэна Гамильтона (1805-1865), среди других математиков.

Векторные пространства – это структуры, которые возникают, когда регистрируется не пустой набор, внешняя операция и внутренняя операция. Векторы – это элементы, которые являются частью векторного пространства. Что касается матриц, это двумерный набор чисел, который позволяет представлять коэффициенты, которые имеют системы линейных уравнений.

Уильям Роуэн Гамильтон – одно из самых выдающихся имен в области математики, поскольку именно он ввел термин «вектор» в дополнение к созданию кватернионов. Эта концепция вытекает из действительных чисел, как это происходит со сложными, и они представляют собой группы из четырех чисел, которые очень полезны при изучении величин в трех измерениях, которые надеются иметь величину и адрес.

Числа, составляющие кватернион, должны удовлетворять определенным правилам сложения, умножения и равенства . Это открытие имело большое значение для математики. Что касается набора действительных чисел, он определяется как тот, в котором находятся рациональные числа (ноль, положительный и отрицательный) и иррациональный (те, которые не могут быть выражены).

Следуя определению элементов, рассматриваемых линейной алгеброй, важно знать, что система линейных уравнений состоит, как следует из ее названия, из линейных уравнений (системы уравнений первой степени), определенной на коммутативное кольцо или тело .

Векторные пространства, являющиеся предметом изучения линейной алгебры, имеют два набора: один из векторов и другой из скаляров. Скаляры – это элементы математических тел, которые используются для описания явления с величиной, хотя и без направления; это может быть действительное, комплексное или постоянное число.

В линейных преобразованиях векторы не всегда являются скалярными последовательностями ; также возможно, что они являются элементами любого набора. Настолько, что векторное пространство может возникнуть из любого множества на фиксированном поле.

Другой интересной особенностью линейной алгебры является группа свойств, которая появляется, когда дополнительные структуры накладываются поверх векторных пространств; очень частый пример этого имеет место, когда представлен внутренний продукт, то есть вид продукта между парой векторов, что приводит к введению таких понятий, как угол, образованный двумя векторами, или их длина,

Правильно сказать, что линейная алгебра – это активная область, которая связана со многими другими, некоторые из которых не относятся к математике, такие как дифференциальные уравнения, функциональный анализ, инженерия, исследование операций и компьютерная графика., Кроме того, области математики, такие как теория модулей или полилинейная алгебра, были разработаны из линейной алгебры.

Линейная алгебра – Linear algebra

Линейная алгебра является ветвью математики относительно линейных уравнений , таких как

a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = b , x_<1>+cdots +a_x_=b,>

( x 1 , … , x n ) ↦ a 1 x 1 + … + a n x n , ,ldots ,x_)mapsto a_<1>x_<1>+ldots +a_x_,>

Линейная алгебра является центральной практически во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях о геометрии , в то числе для определения основных объектов , таких как линии , плоскости и вращения . Кроме того , функциональный анализ может быть в основном рассматривается как применение линейной алгебры в пространствах функций. Линейная алгебра также используется в большинстве наук и инженерных областях, поскольку она позволяет моделировать многие природные явления, а также эффективно вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем , которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, линейная алгебра часто используются в качестве приближения первого порядка.

содержание

история

Порядок решения линейных уравнений теперь называется Гаусс появляется в древней китайском математическом тексте восьмой главы: прямоугольные массивы из Математика в девяти книг . Его использование иллюстрируется в восемнадцать проблем, с двух до пяти уравнений.

Системы линейных уравнений возникла в Европе с введением в 1637 году по Рене Декарта из координат в геометрии . На самом деле, в этой новой геометрии, которая теперь называется декартова геометрия , линия и плоскости представлены линейными уравнениями, и вычисление их пересечения сводится к решению системы линейных уравнений.

Первые систематические методы решения линейных систем , используемых детерминант , первый , рассмотренные Лейбница в 1693 году В 1750 году Габриэль Крамер использовал их для придания явных решений линейных систем, называемых теперь Правило Крамера . Позже Гаусс далее описывается метод ликвидации, который первоначально был приведен в качестве продвижения в геодезии .

В 1844 году Грассман опубликовал свою «Теорию Extension» , который включал фундаментальные новые темы о том, что сегодня называется линейная алгебра. В 1848 годе Джеймс Джозеф Сильвестр ввел термин матрицу , которая является латинской для матки .

Линейная алгебра выросла с идеями , отмеченные в комплексной плоскости . Так , например, два числа ш и Z в ℂ имеет разность ш – г , а линейные сегменты имеют одинаковую длину и направление. Сегменты равноправны . Четырехмерным система ℍ из кватернионов была начата в 1843 Термин вектор был введен как V = х г + у J + г K , представляющий точку в пространстве. Разница кватернионов р – д выпускает также сегмент равнозначны Другие гиперкомплексное количество систем также использовал идею линейного пространства с основой . w z ¯ and 0 ( w − z ) ¯ > > >> p q ¯ . >.>

Кэли ввел умножение матриц и обратной матрицы в 1856 году, что делает возможным линейную группу . Механизм представления группы стал доступен для описания сложных и гиперкомплексных чисел. Важно отметить , что Кэли использовали одну букву , чтобы обозначить матрицу, таким образом , обработку матрицы в качестве агрегатного объекта. Он также понял , что связь между матрицами и детерминантом, и написал «Там будет много вещей , чтобы сказать об этой теории матриц , которые должны, как мне кажется, предшествуют теории детерминантов».

Бенджамин Пирс опубликовал свою Linear ассоциативная алгебра (1872), и его сын Чарльз Сандерс Пирс продлил работу позже.

Телеграф требуется пояснительная система, а издание 1873 Трактата об электричестве и магнетизме ввело теорию поля сил и требует дифференциальной геометрии для экспрессии. Линейная алгебра является плоской дифференциальной геометрией и служит в касательных пространств к коллекторам . Электромагнитные симметрии пространства – времени выражаются преобразованиями Лоренца , и большая часть истории линейной алгебры является история преобразований Лоренца .

Первое современное и более точное определение векторного пространства было введено Пеано в 1888 году; к 1900 году, теория линейных преобразований конечномерных векторных пространств появились. Линейная алгебра приняла современную форму в первой половине двадцатого века, когда многие идеи и методы прошлых столетий были обобщены абстрактной алгеброй . Развитие компьютеров привело к активизации исследований в эффективных алгоритмов для исключения Гаусса и матричных разбиений и линейной алгебры стал важным инструментом для моделирования и симуляции.

векторные пространства

До 19 – го века, линейная алгебра была введена через систему линейных уравнений и матрицы . В современной математике, презентация через векторные пространства , как правило , предпочтительна, так как он более синтетический, более общий (не ограничиваясь конечномерным случай), и концептуально простым, хотя и более абстрактный.

Векторное пространство над полем F (часто поле действительных чисел ) представляет собой множество V оснащен двумя бинарными операциями , которые удовлетворяют следующим аксиомам . Элементы из V называются векторами , а элементы F называются скаляры . Первая операция, векторное сложение , принимает любые два вектора V и W и выдает третий вектор V + ш . Вторая операция, скалярное умножение , принимает любой скалярный а , и любой вектор V и выдает новый вектор AV . Аксиомы , которые должны удовлетворять сложение и умножение являются следующие. (В приведенном ниже списке, у , V и W произвольные элементы из V , а и б произвольные скаляры в поле F ) .

Линейная алгебра

Матрицу

будет иметь оператор:

• дифференцирования в пространстве в базисе
• (Правильный ответ) в пространстве в базисе из матричных единиц
• (A, B — фиксированные матрицы) в пространстве в базисе, состоящем из матричных единиц

Найти производную от det(A) по х, если

• x2(x+3)(x-5)
• (Правильный ответ) 5×4+8×3-5×2
• x2(x-3)(x+5)
• x4-2×3-15×2
• -5×4+8×3+5×2
• x4-2×3-15×2

Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

. Как будет выглядеть матрица этого же преобразования в базисе: ?

Найти производную от det(A) по х, если

• x2(x+3)(x-5)
• -5×4+8×3+5×2
• x2(x-3)(x+5)
• (Правильный ответ) 5×4+8×3-5×2
• x4-2×3-15×2
• x4-2×3-15×2

Выберите верные утверждения:

• (Правильный ответ) существуют такие А и B , что rank (AB)=rank (BA)
• всегда rank A=rank (ATA)
• для любой матрицы А найдется такая матрица
  I , что AI=A, IA=A , называемая единичной
• (Правильный ответ) из линейно зависимой системы векторов всегда можно выбрать несколько линейно независимых
• всегда rank(?A)=rank A

Базис ядра: будет иметь матрица:

• (Правильный ответ)

Какое собственное значение будет иметь матрица порядка n.

• (Правильный ответ)

Найти общее решение в зависимости от параметра

• (Правильный ответ)

Выберите не верные утверждения:

• (Правильный ответ) если для любых элементов x и y , то билинейная форма называется симметрической
• (Правильный ответ) если для каждого элемента x , то билинейная форма называется кососимметрической
• (Правильный ответ) элементы x и y модуля с билинейной формой называется ортогональной, если

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что для нормального оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов?

• (Правильный ответ) инвариантное подпространство для нормального оператора инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпространствам.
• пусть . Тогда и . Следовательно, .
• для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов.

Если для любых элементов x и y , то билинейная форма называется:

• кососимметрической
• кимплектической
• (Правильный ответ) симметрической

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:»Для любого вектора существует единственная ортогональная проекция на подпространство W»?

• (Правильный ответ) Выберем в пространстве W ортонормированный базис . Рассмотрим вектор . Условие означает, что , т.е. . Выбрав такие числа , получим требуемый вектор .
• любой вектор можно представить в виде , где и . Кроме того, если , то . В самом деле, тогда и , поэтому . Следовательно, . Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид.
• если , то . состоит из векторов , т.е. . Аналогично .

Какой угол будет между векторами , ?

• (Правильный ответ)

• det(-A)=-det(A)
• (Правильный ответ) если столбец матрицы умножить на число, то детерминант умножится на то же самое число
• (Правильный ответ) если после перстановки столбцов матрицы детерминант не изменился, то матрица — вырожденная

Найти det A , если

• -4
• 4
• 6
• (Правильный ответ) -6
• -5
• 5

Какое ядро отображения будет иметь матрица

• (Правильный ответ) базис ядра:
• базис ядра:
• базис ядра:

Как будет выглядеть матрица X в уравнении

Матрица

будет иметь оператор:

• поворота плоскости на угол в произвольном ортонормированном базисе
• в пространстве в базисе из матричных единиц
• (Правильный ответ) проектирования трехмерного пространства на координптную ось вектора параллельно координатной плоскости векторов и в базисе

Какое из утверждений верное?

• умножение матриц АB определено только в том случае, если количества элементов в матрицах совпадают
• (Правильный ответ) умножение матриц АB определено только в том случае, если количество строк в матрице А соответствует количеству столбцов в матрице B
• умножение матриц АB определено только в том случае, если матрица А имеет размерность m x n , а В — n x m

Какая система линейных уравнений, из ниже перечисленных, не имеет решений?

• (Правильный ответ)

Многочлены

• рангом — матрицы
• (Правильный ответ) инвариантными множителями — матрицы
• характеристическим многочленом матрицы А

Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

Как будет выглядеть матрица в базисе ?

Как называется оператор , если ?

• (Правильный ответ) ортогональным
• самосопряженным
• сопряженным линейному оператору

Из равенства следует, что , где k — степень . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

• (Правильный ответ) в пространстве линейный оператор имеет множество собственных значений
• если оператор имеет собственное значение , то одно из чисел и является собственным значением оператора
• если оператор А невырожденный, то операторы А и имеют одни и те же собственные векторы

Матрицы

будет иметь оператор:

• (Правильный ответ) поворота трехмерного пространства на угол вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями , в базисе из единичных векторов осей координат
• (А, В — фиксированные матрицы в пространстве ) в базисе из матричных единиц
• дифференцирования в пространстве в базисе

Какие собственные значения будет иметь матрица

• (Правильный ответ)

Источники:

https://ru.tax-definition.org/48150-linear-algebra
https://ru.qwe.wiki/wiki/Linear_algebra
https://the-distance.ru/intuit-linejnaya-algebra/